我2014年十月晚間時在國立科學工藝博物館散步時跌到，手持手機，結果起身時螢幕破裂，其上之保護貼亦然。是因為路面凹凸不平，公有設施之過失才跌倒。我當時有將路面及手機狀況拍照。隔天即至科工館向他們說明問題，然後他們叫我去維修，並將收據送至單位，他們要問保險公司的賠償金額。

一開始說保險公司只認賠三成，我不同意。後來又說最多賠五成。但我認為不合理的是，我那支手機是剛買兩個月就摔壞，理當叫他們賠新機，他們不但沒有，還一直堅持只能賠償一定的金額（甚至不到六成）。就算保險公司認賠一半，其餘的科工館也應自行補足，怎麼會是讓繳稅的人民去承擔另一半責任？而且他們事後也有對路面進行維修，代表他們也認同他們的路面是有缺失的。但是雙方一直未有共識，我只好採取申請國賠的行動。

請問若針對此事件要申請國賠，程序該如何走？需先向哪個機關申請訴訟？或是需先進行調解，談不攏再來進司法程序嗎？