我與一位媽媽發生行車的糾紛，在交通部分是沒事了（因為鑑定沒有任何傷害），但因為爭執過程雙方親友都在大小聲，我方友人向對方兒子罵了一句幹Ｘ娘，對方要用這一句告我們公然侮辱

有去警察局但警察只是登記我們的基本資料也沒有筆錄，警察當時也是勸對方大事化小，我們當天有向對方道歉，還登門拜訪道歉兩次對方兒子看似也想大事化小，但跟我發生交通糾紛的媽媽不接受，說會連絡他們律師考慮看看要不要對我們提告，因為她說她很沒面子讓我們在他們家店門前這樣污辱，感覺是要跟我們拿什麼賠償金之類的，這種情形請問對方若是要和解金（私下和解）該賠償多少較為恰當？若對方提告勝訴率有多少？若提告成功我方會付出什麼代價？
另外這種是屬於民事還是刑事訴訟呢？

對方本件可以提出刑事告訴、自訴或者民事訴訟請求損害賠償，一般來講如果加害人只是單純口出三字經三個字恐怕得請求損害賠償之金額十分有限，另外刑責部分恐怕也不致太重，若加害人沒有刑事前科的話，也是有可能被判緩刑的。